miércoles, 11 de abril de 2018

Polígono de 257 lados

Como contábamos hace poco, no todos los polígonos regulares son construibles con regla y compás. Entre los que sí lo son tenemos el polígono regular de 257 lados, número que, recordemos, es el cuarto primo de Fermat conocido.

A diferencia de lo habitual, no vamos a traer aquí la construcción de este polígono dada su extensión y dificultad, y nos vamos a limitar a contextualizarlo.  

Obviamente, un polígono con un número tan grande de lados no somos capaces de distinguirlo de un círculo de manera visual. De hecho, la diferencia de su perímetro con la longitud de la circunferencia circunscrita se sitúa en torno a las diezmilésimas. Para este cálculo, podemos usar la siguiente fórmula para el perímetro de un polígono regular de n lados dado su radio: 

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
Así, sin más que tomar como radio del polígono la unidad 1 (y será el mismo radio para la circunferencia circunscrita), la diferencia entre ambos perímetros es un número cuya primera cifra significativa es la diezmilésima.

La primera construcción explícita se la debemos a Magnus Georg Paucker, que la publica en 1822 en Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (traducido, algo así como 'Sesiones anuales de la Sociedad de Literatura y Arte de Kurland'). Podemos consultarla aquí, página 188, en el apartado "Dasregelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise" (traducido, 'sobre la división del círculo en 65537 partes iguales'). En el original alemán, claro.
 
Poco después, en 1832, otra construcción era publicada por Friedrich Julius Richelot en Journal für die reine und angewandte Mathematik (traducido, algo así como 'Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas'). Podemos consultarla aquí, a partir de la página 146, en el capítulo "De resolutione algebraica aequationes $x^{257}=1$" (traducido, 'sobre la resolución de la ecuación algebraica $x^{257}=1$'). El original está, en este caso, en latín.

Otro método, propuesto por Duane DeTemple, involucra el uso de 150 círculos. Su demostración la podemos encontrar en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", páginas 104 a 107, publicado en 1991 en la revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcciones que escapan notablamente de los objetivos de este humilde blog.

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