miércoles, 18 de abril de 2018

Polígono regular de 65537 lados

Como contábamos hace poco, no todos los polígonos regulares son construibles con regla y compás. Entre los que sí lo son tenemos el polígono regular de 65537 lados, número que, recordemos, es el primo de Fermat más grande conocido.

A diferencia de lo habitual, no vamos a traer aquí la construcción de este polígono dada su extensión y dificultad, y nos vamos a limitar a contextualizarlo.

Obviamente, un polígono con un número tan enorme de lados no somos capaces de distinguirlo de un círculo de manera visual. De hecho, la diferencia de su perímetro con la longitud de la circunferencia circunscrita se sitúa en torno a las milmillonésimas. Para este cálculo, podemos usar la siguiente fórmula para el perímetro de un polígono regular de n lados dado su radio:

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
Así, sin más que tomar como radio del polígono la unidad 1 (y será el mismo radio para la circunferencia circunscrita), la diferencia entre ambos perímetros es un número cuya primera cifra significativa es la milmillonésima.

La primera construcción explícita se la debemos a Johann Gustav Hermes, que la publica en 1894 en Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (traducido, algo así como 'Noticias de la Sociedad de Ciencias de Göttingen'). Podemos consultarla aquí, entre las páginas 170 y 186, en el capítulo "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" (traducido, 'sobre la división del círculo en 65537 partes iguales'). En el original alemán, claro.

Otro método, propuesto por Duane DeTemple, involucra el uso de a lo sumo 1332 círculos de Carlyle (cierto tipo de círculos asociados a una ecuación cuadrática particular). Su demostración la podemos encontrar en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", página 107, publicado en 1991 en la revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcciones que escapan notablamente de los objetivos de este humilde blog.


miércoles, 11 de abril de 2018

Polígono de 257 lados

Como contábamos hace poco, no todos los polígonos regulares son construibles con regla y compás. Entre los que sí lo son tenemos el polígono regular de 257 lados, número que, recordemos, es el cuarto primo de Fermat conocido.

A diferencia de lo habitual, no vamos a traer aquí la construcción de este polígono dada su extensión y dificultad, y nos vamos a limitar a contextualizarlo.  

Obviamente, un polígono con un número tan grande de lados no somos capaces de distinguirlo de un círculo de manera visual. De hecho, la diferencia de su perímetro con la longitud de la circunferencia circunscrita se sitúa en torno a las diezmilésimas. Para este cálculo, podemos usar la siguiente fórmula para el perímetro de un polígono regular de n lados dado su radio: 

$$ P=2nr \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) $$ 
Así, sin más que tomar como radio del polígono la unidad 1 (y será el mismo radio para la circunferencia circunscrita), la diferencia entre ambos perímetros es un número cuya primera cifra significativa es la diezmilésima.

La primera construcción explícita se la debemos a Magnus Georg Paucker, que la publica en 1822 en Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (traducido, algo así como 'Sesiones anuales de la Sociedad de Literatura y Arte de Kurland'). Podemos consultarla aquí, página 188, en el apartado "Dasregelmäßige Zweyhundersiebenundfunfzig-Eck im Kreise" (traducido, 'sobre la división del círculo en 65537 partes iguales'). En el original alemán, claro.
 
Poco después, en 1832, otra construcción era publicada por Friedrich Julius Richelot en Journal für die reine und angewandte Mathematik (traducido, algo así como 'Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas'). Podemos consultarla aquí, a partir de la página 146, en el capítulo "De resolutione algebraica aequationes $x^{257}=1$" (traducido, 'sobre la resolución de la ecuación algebraica $x^{257}=1$'). El original está, en este caso, en latín.

Otro método, propuesto por Duane DeTemple, involucra el uso de 150 círculos. Su demostración la podemos encontrar en el artículo "Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions", páginas 104 a 107, publicado en 1991 en la revista The American Mathematical Monthly. En todo caso, construcciones que escapan notablamente de los objetivos de este humilde blog.

Relacionado con esto:

miércoles, 4 de abril de 2018

Polígonos regulares construibles con regla y compás

Nunca es tarde si la dicha es buena, dice el refrán. Ya iba siendo hora de dedicar una entrada a explicar qué polígonos regulares son construibles con las reglas clásicas de la regla y el compás.

En este blog hemos visto ya cómo construir los siguientes polígonos regulares, partiendo de un lado dado (o dicho de otro modo, partiendo de dos puntos dados):

Y los siguientes, inscritos en un círculo dado:
 
Pero, ¿qué pasa con los que no hemos mostrado? ¿Se pueden construir? Pues bien, la respuesta es que hay polígonos regulares que NO se pueden construir con las reglas clásicas. De ellos, el heptágono regular es el que tiene menor número de lados. Y el eneágono o el endecágono tampoco lo son. De hecho, existe un resultado que nos permite determinar si un polígono regular es o no es construible.




A día de hoy, los únicos primos de Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65537. Recordemos que un primo de Fermat es un número primo de la forma: $ { 2 }^{ { 2 }^{ n } }+1 $. 

Así, podemos mostrar por qué el heptágono regular y el eneágono regular no son construibles, pero los demás polígonos regulares hasta 10 lados sí lo son:

$$ 3=2^{2^0}+1 \hspace{1.5cm} 4=2^2 \hspace{1.5cm} 5=2^{2^1}+1 \hspace{1.5cm} 6=2\cdot \left(2^{2^0}+1\right) $$
$$ 7\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 9=3^2\neq 2^{2^n}+1\ \forall n \hspace{1cm} 10=2\cdot \left(2^{2^1}+1 \right) $$

Este resultado lo debemos al trabajo de Gauss y de Pierre Wantzel, el primero de ellos demostró la suficiencia de la proposición, mientras que el segundo probó la necesidad de la misma. Gauss publicó su demostración en el libro Disquisitiones arithmeticae, escrito en 1798. Puedes verla aquí en el original en latín: es el artículo 365 que se encuentra en la página 662. O puedes consultar aquí una traducción al castellano: es el artículo 365 que se encuentra en la página 470.


Sin embargo, lo que Gauss proporcionó es la demostración de que el heptadecágono es construible, pero no propuso una construcción propiamente dicha. La que hemos presentado en este blog hace un tiempo fue dada Herbert W. Richmond en 1893. Y, de hecho, fue Johannes Erchinger quien propuso la primera construcción, en 1825. Y es que:
$$ 17=2^{2^2}+1 $$
Para terminar, añadir que en el caso de no ser construible un polígono regular, se puede intentar trazar alguna aproximación, y por ejemplo en este mismo blog ya hemos tratado aproximaciones bastante buenas para el heptágono, el eneágono o el endecágono regulares.

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martes, 2 de enero de 2018

Simetría de doce ejes

Con la entrada de hoy terminamos nuestra serie de simetrías extraídas del libro Drawing Circle Images. Han sido once construcciones que, si bien son bastante sencillas, resultan especialmente bellas debido a las simetrías que presentan. Coloreadas con un poco de arte y sensibilidad pueden ser figuras muy bonitas.







En esta última construcción del libro dividimos la circunferencia inicial en doce partes iguales y, a partir de esos puntos y como ya es habitual, dibujamos una cuantas circunferencias que nos llevan a nuestro bello resultado.


https://www.geogebra.org/m/VXdR6uXH


 
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miércoles, 27 de diciembre de 2017

Simetría de once ejes

Inscrito en una circunferencia y con las normas clásicas de regla y compás, no podemos dibujar un heptágono regular, ni un eneágono regular... ni tampoco un endecágono regular. En nuestra última entrada decíamos cuándo era posible, aunque queda pendiente el profundizar un poco sobre ello. Mientras tanto, en Gaussianos lo explican bastante bien.

En la construcción de hoy es justo el endecágono regular el que nos proporcionaría los once puntos necesarios para elaborar la simetría de once ejes, pero nos tendremos que quedar con una aproximación que ya habíamos traído al blog hace más de dos años. Después, otras tantas circunferencias, unos cuantos arcos... y listo.


https://www.geogebra.org/m/RwNfahpK


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